Среднее значение функции

Среднее значение функции — это некоторое число, заключённое между наименьшим и наибольшим её значениями. В дифференциальном и интегральном исчислении имеется ряд «теорем о среднем», устанавливающих существование таких точек, в которых функция или её производная получает то или иное среднее значение. Наиболее важной теоремой о среднем значении функции в дифференциальном исчислении является теорема Лагранжа (теорема о конечном приращении): если [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] непрерывна на отрезке [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] и дифференцируема в интервале [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math], то существует точка [math]\displaystyle{ c }[/math], принадлежащая интервалу [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math], такая, что [math]\displaystyle{ f(b)-f(a)=(b-a)f'(c) }[/math]. В интегральном исчислении наиболее важной теоремой о среднем значении является следующая: если [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] непрерывна на отрезке [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math], а [math]\displaystyle{ \varphi(x) }[/math] сохраняет постоянный знак, то существует точка [math]\displaystyle{ c }[/math] из интервала [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math] такая, что

[math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f(x) \varphi(x) dx = f(c) \int\limits_a^b \varphi(x) dx. }[/math]

В частности, если [math]\displaystyle{ \varphi(x)=1 }[/math], то

[math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f(x) dx = f(c) (b-a). }[/math]

Вследствие этого под средним значением функции [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] на отрезке [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] обычно понимают величину

[math]\displaystyle{ \overline{f} = \frac{1}{b-a} \int\limits_a^b f(x) dx. }[/math]

Аналогично определяется среднее значение функции нескольких переменных в некоторой области.